已知定点，B是圆（C为圆心）上的动点，AB的垂直平分线与BC交于点E．（1）求...

已知定点

，B是圆

（C为圆心）上的动点，AB的垂直平分线与BC交于点E．
（1）求动点E的轨迹方程；
（2）设直线l：y=kx+m（k≠0，m＞0）与E的轨迹交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：△OPQ面积的最大值及此时直线l的方程．

（1）根据|EA|=|EB|可判断出|EA|+|EC|=|EB|+|EC|进而根据椭圆的定义可知点E的轨迹是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，E的轨迹方程可得．（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为（x，y）将直线方程与椭圆方程联立消去y，根据判别式大于0求得k与m的不等式关系；同时根据AB的垂直平分线与BC，可分别表示出两直线的斜率使其乘积等于-1求得k和m的关系式，进而可求得k的范围．设O到直线l的距离为d，根据三角形面积公式可得△OPQ的面积的表达式，根据k的范围确定△OPQ的面积的最大值．求出此时的k和m，所求的直线方程可得．【解析】（1）由题知|EA|=|EB| ∴|EA|+|EC|=|EB|+|EC|=4 又∵∴点E的轨迹是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆， ∴E的轨迹方程为（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为（x，y）将直线y=kx+m与联立得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0△=16（4k2+1-m2）＞0，即4k2+1＞m2① 又依题意有，整理得3km=4k2+1② 由①②可得，∵m＞0，∴k＞0，∴ 设O到直线l的距离为d，则 = 当时，△OPQ的面积取最大值1，此时，∴直线方程为

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考点分析：

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已知点A（2，8），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）在抛物线y²=2px上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）
（I）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
（II）求线段BC中点M的坐标
（III）求BC所在直线的方程．