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M为△ABC内一点,过点M的一直线交AB边于P,交AC边于点Q,则条件p:“”是...

M为△ABC内一点,过点M的一直线交AB边于P,交AC边于点Q,则条件p:“manfen5.com 满分网”是条件q:“M点是△ABC的重心”成立的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
根据三角形中线段长度之间的等量关系判断出条件p成立时,条件q也成立;反之通过三角形的重心满足的性质:到顶点距离等于到对边中点的2倍判断出条件q成立得到条件p成立,利用充要条件的定义加以判断. 【解析】 ①∵P为AB边上(除A外)的任意一点所以当P与B重合时, 可得, ∴, 此时Q为AC边中点, 即直线BM过AC边中点. 同理,因为Q为AC边上(除A外)的任意一点 ∴当Q与C重合时,可得, ∴,此时P为AB边中点, 即直线CM过AB边中点 设D为AC边中点,E为AB边中点,连接ED,直线AM分别交ED、BC于G、F, ∵ED是△ABC的一条中位线, ∴ ∵, ∴, ∴BF=FC ∵BF=FC, ∴F为BC边上中点因为直线BM过AC边中点D,直线CM过AB边中点E,直线 AM过BC边中点F ∴M为△ABC的重心. ②若已知M为重心,亦可求证:. 证明:作BF、CE平行于PQ,分别交AC、AB于F、E, AM的延长分别交CE、BC、BF于G、D、H, ∵M为△ABC的重心, ∴D为BC边中点 ∵BF平行于PQ,CE平行于PQ, ∴BF平行于CE ∵BD=DC,BF平行于CE, ∴GD=DH ∵M为△ABC的重心, ∴AM=2MD=MD+(MG+GD) ∵GD=DH,AM=MD+(MG+GD) ∴AM=MD+MG+DH=(MD+DH)+MG=MH+MG ∵AM=MH+MG, ∴3AM=(AM+MH)+(AM+MG)=AH+AG ∵3AM=AH+AG ∴ ∵BF平行于PQ, ∴ ∵CE平行于PQ, ∴ ∴ ∴p是q的充要条件 故选C
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考点分析:
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