Question

M为△ABC内一点，过点M的一直线交AB边于P，交AC边于点Q，则条件p：“”是条件q：“M点是△ABC的重心”成立的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

Answer

根据三角形中线段长度之间的等量关系判断出条件p成立时，条件q也成立；反之通过三角形的重心满足的性质：到顶点距离等于到对边中点的2倍判断出条件q成立得到条件p成立，利用充要条件的定义加以判断．
【解析】
①∵P为AB边上（除A外）的任意一点所以当P与B重合时，
可得，
∴，
此时Q为AC边中点，
即直线BM过AC边中点．
同理，因为Q为AC边上（除A外）的任意一点
∴当Q与C重合时，可得，
∴，此时P为AB边中点，
即直线CM过AB边中点
设D为AC边中点，E为AB边中点，连接ED，直线AM分别交ED、BC于G、F，
∵ED是△ABC的一条中位线，
∴

∵，

∴，
∴BF=FC
∵BF=FC，
∴F为BC边上中点因为直线BM过AC边中点D，直线CM过AB边中点E，直线 AM过BC边中点F
∴M为△ABC的重心．
②若已知M为重心，亦可求证：．
证明：作BF、CE平行于PQ，分别交AC、AB于F、E，
AM的延长分别交CE、BC、BF于G、D、H，
∵M为△ABC的重心，
∴D为BC边中点
∵BF平行于PQ，CE平行于PQ，
∴BF平行于CE
∵BD=DC，BF平行于CE，
∴GD=DH
∵M为△ABC的重心，
∴AM=2MD=MD+（MG+GD）
∵GD=DH，AM=MD+（MG+GD）
∴AM=MD+MG+DH=（MD+DH）+MG=MH+MG
∵AM=MH+MG，
∴3AM=（AM+MH）+（AM+MG）=AH+AG
∵3AM=AH+AG
∴
∵BF平行于PQ，
∴
∵CE平行于PQ，
∴

∴
∴p是q的充要条件
故选C