Question

给出下列命题：①若a，b∈R⁺，a≠b，则a³+b³＞a²b+ab²；②若a，b∈R⁺，a＜b，则；③若，则ln a＞ln b；
④；其中正确命题的个数为（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

Answer

对于三个命题分别判断，正确的给出证明，错误的能举出反例，是解答这类题目的重要方法，另外记住一些结论对捷达选择或者填空题很有帮助．本题要一一作出解答．
【解析】
①∵a，b∈R+，a≠b，∴a+b＞0，（a-b）2＞0，∴a3+b3-（a2b+ab2）=a2（a-b）+b2（b-a）=（a-b）（a2-b2）=（a-b）2（a+b）＞0，∴a3+b3＞a2b+ab2，此命题正确；
②∵a，b∈R+，a＜b，∴b-a＞0，∴=＞0，∴，命题 不正确；本题可以举出反例如：设a=2，b=3，m=1，可验证命题不正确；
③反例设a=-1，b=-2，成立，但是ln a，ln b均无意义；更谈不上ln a＞ln b了；
④设t=sinx∈（0，1），则≥=，当且仅当即，sinx=显然不成立，此命题不正确．
综上可知只有①正确．
故应选：B