Question

若（2x+4）²⁰¹⁰=a+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₀x²⁰¹⁰，则a+a₂+a₄+…+a₂₀₁₀被3除的余数是多少？

Answer

根据题意，给自变量x赋值，取x=1和x=-1，两个式子相加，得到a+a2+a4+…+a2010的值，整理出可以看出能不能被3除的结果，得到余数．
【解析】
在已知等式中
取x=1得a+a1+a2+…+a2010=62010，
取x=-1得a-a1+a2-…+a2010=22010，
两式相加得2（a+a2+…+a2010）=62010+22010，
即a+a2+…+a2010=×（62010+22010）=×62010+22009．…（6分）
注意到×62010能被3整除；…（8分）
22009=2×（22）1004=2×（3+1）1004=2×（31004+C10041•31003+…+C10041003•3+1），
被3除的余数是2，因此a+a2+a4+…+a2010被3除的余数是2．…（12分）