Question

设函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数），
（1）若f（-1）=0且对任意实数x均有f（x）≥0成立，求f（x）表达式；
（2）在（1）的条件下，若g（x）=f（x）-kx，在区间[-2，2]上是单调函数，则实数k的取值范围；
（3）在（1）的条件下，，当x∈[-2，2]且x≠0时，求F（x）的值域．

Answer

（1）讨论a=0的情况，然后根据f（-1）=0且对任意实数x均有f（x）≥0成立，建立方程组，解之即可；
（2）根据二次函数的单调性建立不等关系，即对称轴不在区间[-2，2]上，解之即可求出k的取值范围；
（3）分别求出每一段函数的值域，最后求并集即可求出F（x）的值域．
【解析】
（1）当a=0时，f（x）=bx+1，当f（-1）=0，即-b+1=0时，f（x）=x+1，不符合题意．
所以a≠0．
∵f（-1）=0且对任意实数x均有f（x）≥0成立
∴点（-1，0）为抛物线的顶点且开口向上．
∴解得
∴f（x）=x2+2x+1．
（2）g（x）=x2+（2-k）x+1
依题意有：
∴k≤-2或k≥6
（3）在[-2，0）上，F（x）=-x2-2x-1=-（x+1）2∈[-1，0]
在（0，2]上，F（x）=（x+1）2∈（1，9]
∴F（x）值域为[-1，0]∪（1，9]．