Question

已知0＜x＜＜y＜π且sin（x+y）=
（Ⅰ）若tg=，分别求cosx及cosy的值；
（Ⅱ）试比较siny与sin（x+y）的大小，并说明理由．

Answer

（Ⅰ）根据x的范围得到的范围，由tan的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cos的值，进而再利用同角三角函数间的基本关系求出sin的值，利用二倍角的正弦、余弦函数公式，由sin和cos的值及x的范围，即可求出sinx和cosx的值，再根据x与y的范围得到x+y的范围，由sin（x+y）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（x+y）的值，然后把y变为（x+y）-x，利用两角差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值；
（Ⅱ）由x与y的范围求出x+y的范围及x+y大于y，然后根据正弦函数在x+y的范围中为减函数，利用正弦函数的单调性即可得到siny大于sin（x+y）．
【解析】
（Ⅰ）∵0＜x＜＜y＜π，tan=，且0＜＜，
∴cos==，sin=，
则cosx=2cos2-1=，sinx=，
又sin（x+y）=，＜x+y＜，
∴cos（x+y）=-，
∴cosy=cos[（x+y）-x]
=cos（x+y）cosx+sin（x+y）sinx
=；

（Ⅱ）∵0＜x＜y＜π，
∴＜x+y＜，＜y＜x+y＜，
又y=sinx在[，]上为减函数，
∴siny＞sin（x+y）．