Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，在定义域x∈[-2，2]上表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线斜率均为-1．有以下命题：①f（x）是奇函数；②若f（x）在[s，t]内递减，则|t-s|的最大值为4；③f（x）的最大值为M，最小值为m，则M+m=0．④若对∀x∈[-2，2]，k≤f'（x）恒成立，则k的最大值为2．其中正确命题的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

首先利用导数的几何意义及函数f（x）过原点，列方程组求出f（x）的解析式；然后根据奇函数的定义判断函数f（x）的奇偶性，且由f′（x）的最小值求出k的最大值，则命题①④得出判断；最后令f′（x）=0，求出f（x）的极值点，进而求得f（x）的单调区间与最值，则命题②③得出判断．
【解析】
函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象过原点，可得c=0；
又f′（x）=3x2+2ax+b，且f（x）在x=±1处的切线斜率均为-1，
则有，解得a=0，b=-4．
所以f（x）=x3-4x，f′（x）=3x2-4．
①可见f（x）=x3-4x是奇函数，因此①正确；
x∈[-2，2]时，[f′（x）]min=-4，则k≤f'（x）恒成立，需k≤-4，因此④错误．
②令f′（x）=0，得x=±．
所以f（x）在[-，]内递减，则|t-s|的最大值为，因此②错误；
且f（x）的极大值为f（-）=，极小值为f（）=-，两端点处f（-2）=f（2）=0，
所以f（x）的最大值为M=，最小值为m=-，则M+m=0，因此③正确．
故选B．