Question

已知函数f（x）=ax²+bx（a≠0）的导函数f'（x）=-2x+7，数列{a_n}的前n项和为S_n，点P_n（n，S_n）（n∈N⁺）均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式及S_n的最大值；
（2）设数列b_n满足，数列的前n项的和为T_n，当m≥3时，求证：．

Answer

（1）求出f（x）的导函数即可得到a与b的值，然后把Pn（n，Sn）代入到f（x）中得到Sn=-n2+7n，利用an=Sn-Sn-1得到通项公式，令an=-2n+8≥0得到n的范围即可求出Sn的最大值；
（2）先求出数列{bn}的通项公式，代入化简，然后利用裂项求和法求出数列的前n项的和为Tn，从而证得不等式．
【解析】
（1）∵f（x）=ax2+bx（a≠0），∴f'（x）=2ax+b
由f'（x）=-2x+7得：a=-1，b=7，所以f（x）=-x2+7x
又因为点Pn（n，Sn）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上，所以有Sn=-n2+7n
当n=1时，a1=S1=6
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-2n+8，∴an=-2n+8（n∈N*）
令an=-2n+8≥0得n≤4，∴当n=3或n=4时，Sn取得最大值12
综上，an=-2n+8（n∈N*），当n=3或n=4时，Sn取得最大值12
（2）由（1）知an=-2n+8（n∈N*），所以=n+3，因为m≥3，所以
=≥==
所以
=＞