Question

已知O为坐标原点，，动点P满足
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）求的最小值；
（3）若Q（1，0），试问动点P的轨迹上是否存在M、N两点，满足？若存在求出M、N的坐标，若不存在说明理由．

Answer

（1）由椭圆定义可知，动点P的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且长轴长2a=10，根据椭圆的标准方程即可求出．
（2）点P与A，B显然构成焦点三角形，利用焦点三角形中三边关系，以及余弦定理，均值不等式，很容易求出范围，进而求出最小值．
（3）先假设存在M、N两点，满足，再将过（1，0）的直线与椭圆联立，利用韦达定理找到关于m的方程，即可求解
解（1）∵，
∴A（-4，0），B（4，0）．
又∵动点P满足，
∴动点P的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且长轴长2a=10∴a=5，b=3．
椭圆方程为．
（2）=cos∠APB==2a2-2b2-=18-≥18-=-7，∴的最小值为-7
（3）假设存在M、N两点，满足，则M，Q，N共线，
设M（x1，y1），N（x2，y2），由，可得，∴．①
设方程为x=my+1，代入椭圆方程，化简得，（9m2+25）y2+18my-216=0，
y1+y2=-，y1y2=-，把①代入，得y1=，y12=
∴m=或-