Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=5，AC=4，BC=3，AA₁=4，D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥B₁C；
（Ⅱ）求证：AC₁∥平面B₁CD．

Answer

（Ⅰ） 利用勾股定理可得AC⊥BC，由直三棱柱的性质可得CC1⊥AC，从而得到AC⊥平面BB1C1C，进而得到AC⊥B1C．
 （Ⅱ） 取B1C中点E，得到 DE为△ABC1的中位线，得到DE∥AC1，由线面平行的判定定理证得AC1∥平面B1CD．
证明：（Ⅰ）在△ABC中，因为AB=5，AC=4，BC=3，
所以AC⊥BC．
因为直三棱柱ABC-A1B1C1，所以，CC1⊥AC．
因为BC∩AC=C，所以AC⊥平面BB1C1C．
所以AC⊥B1C．
（Ⅱ）连接BC1，交B1C于E．
因为直三棱柱ABC-A1B1C1，
所以侧面BB1C1C为矩形，且E为B1C中点．
又D是AB中点，所以DE为△ABC1的中位线，所以DE∥AC1．
因为DE⊂平面B1CD，AC1⊄平面B1CD，
所以，AC1∥平面B1CD．