Question

已知关于x的不等式-x²+ax+b＞0的解集为A={x|-1＜x＜3，x∈R}
（1）求a、b的值
（2）设函数f（x）=lg（-x²+ax+b），求最小的整数m，使得对于任意的x∈A，都有f（x）≤m成立．

Answer

（1）根据题中条件：“x的不等式-x2+ax+b＞0的解集为A={x|-1＜x＜3，x∈R}”得-1和3是相应方程的根，结合方程根的定义即可求得a值．
（2）由（1）得：函数f（x）=lg（-x2+2x+3），x∈A={x|-1＜x＜3，x∈R}得出0＜-x2+2x+3≤4，根据对于任意的x∈A，都有f（x）≤m成立，得出m要大于等于lg（-x2+2x+3）的最大值即可，从而m≥lg4，最后得出m最小的整数．
【解析】
（1）∵关于x的不等式-x2+ax+b＞0的解集为A={x|-1＜x＜3，x∈R}
∴当x=-1或3时，-x2+ax+b＞0，
即
∴a=2，b=3．
（2）由（1）得：函数f（x）=lg（-x2+2x+3），
∵x∈A={x|-1＜x＜3，x∈R}
∴0＜-x2+2x+3≤4
∴lg（-x2+2x+3）≤lg4，
从而m≥lg4，
故最小的整数m=1．