Question

对于函数f（x），若f（x）=x，则称x为f（x）的“不动点”；若f[f（x）]=x，则称x为f（x）的“稳定点”．函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A={x|f（x）=x}，B={x|f[f（x）]=x}．
（1）设函数f（x）=3x+4求集合A和B；
（2）求证：A⊆B；
（3）设函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且A=∅，求证：B=∅．

Answer

（1）函数f（x）=3x+4，要求集合A和B，解出两个方程f（x）=x与f[f（x）]=x的根，此两方程的解集即为集合A和B；
（2）分A=∅和A≠∅的情况，然后根据所给“不动点”和“稳定点”的定义来证明；
（3）A=∅，说明f（x）=x无解，由“不动点”和“稳定点”的定义证明f[f（x）]=x无解即可得出B=∅．
【解析】
（1）令f（x）=3x+4=x，
解得x=-2，故有A={-2}
由于f[f（x）]=3（3x+4）+4=9x+16，
令9x+16=x，得x=-2，故有B={-2}
（2）若A=∅，则A⊆B显然成立；若A≠∅，
设t∈A，
则f（t）=t，f（f（t））=f（t）=t，
∴t∈B，故A⊆B．
（3）若B≠∅．
则f[f（x）]=x有解，
即f（x）=x有解，
这与A=∅矛盾，
故B=∅．