Question

如图，在△ABC中，BD为AC边上的高，BD=1，BC=AD=2，沿BD将△ABD翻折，使得∠ADC=30°，得到几何体B-ACD．
（I）求证：AC⊥平面BCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的正切值．

Answer

（I）由已知中BD⊥AD，BD⊥CD，由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面ACD，进而AC⊥BD，由余弦定理可以判断出AC⊥CD，再由线面垂直的判定定理，即可得到AC⊥平面BCD；
（Ⅱ）以D为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系，分别求出异面直线AB与CD的方向向量，代入向量夹角公式，即可得到异面直线AB与CD所成角的正切值．
证明：（I）因为BD⊥AD，BD⊥CD，AD∩CD=D，
所以BD⊥平面ACD．
又因为AC⊂平面ACD，
所以AC⊥BD．  ①
在△ACD中．∠ADC=30°，AD=2，CD=，
由余弦定理得AC2=AD2+CD2一2AD•CD•COS∠ADC=1．
因为AD2=CD2+AC2．所以∠ACD=90°．即AC⊥CD．②
由①、②及BD∩CD=D，可得AC⊥平面BCD．
【解析】
（Ⅱ） 以D为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系，
则A（1，，0），B（0，0，1），C（0，，0）
则=（-1，-，1），=（0，-，0）
设异面直线AB与CD所成角为θ，
则cosθ==
则sinθ=
tanθ=