Question

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数），x∈R，
（1）若不等式f（x）＞4的解集为{x|x＜-3或x＞1}，求F（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-1，1]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设m•n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？

Answer

（1）先由已知不等式ax2+bx-3＞0的解集为{x|x＜-3或x＞1}，故a＞0，且方程ax2+bx-3=0的两根结合韦达定理，得a，b的值即可写出F（x）的表达式；
（2）由于g（x）=f（x）-kx=x2+2x+1-kx=x2+（2-k）x+1=，利用二次函数的图象与性质得出实数k的取值范围即可；
（3）根据f（x）是偶函数得到：，再结合题中条件：m•n＜0，设m＞n，则n＜0．又m+n＞0，m＞-n＞0，计算出|m|＞0，从而F（m）+F（n）能大于零．
【解析】
（1）由已知不等式ax2+bx-3＞0的解集为{x|x＜-3或x＞1}，故a＞0，且方程ax2+bx-3=0的两根为-3，1，由韦达定理，得解得a=1，b=2．因此，
（2）∵g（x）=f（x）-kx=x2+2x+1-kx=x2+（2-k）x+1=，
当或时，即k≥4或k≤0时，g（x）是单调函数．
（3）∵f（x）是偶函数∴f（x）=ax2+1，，
∵m•n＜0，设m＞n，则n＜0．又m+n＞0，m＞-n＞0，
∴|m|＞|-n|F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=（am2+1）-an2-1=a（m2-n2）＞0，
∴F（m）+F（n）能大于零．