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如图,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,PA⊥底面ABCD,且PA=AB=2,...

manfen5.com 满分网如图,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,PA⊥底面ABCD,且PA=AB=2,E、F分别是AB与PD的中点.
(Ⅰ)求证:PC⊥BD;
(Ⅱ)求证:AF∥平面PEC;
(Ⅲ)求二面角P-EC-D的大小.
(1)由于AC是斜线PC在平面ABCD上的射影,故可利用三垂线定理,转化为证明:AC⊥BD (2)要证明AF∥平面PEC,关键是要找到平面PEC中与AF平行的直线 (3)要求二面角的大小,要先求出二面角的平面角,然后转化为解三角形问题. 【解析】 (I)连接AC,则AC⊥BD. ∵PA⊥平面ABCD,AC是斜线, PC在平面ABCD上的射影, ∴由三垂线定理得PC⊥BD. (II)取PC的中点K,连接FK、EK, 则四边形AEKF是平行四边形, ∴AF∥EK,又EK⊂平面PEC, AF⊄平面PEC, ∴AF∥平面PEC. (III)延长DA、CE交于M,过A作AH⊥CM于H, 连接PH,由于PA⊥平面ABCD,可得PH⊥CM. ∴∠PHA为所求二面角P-EC-D的平面角. ∵E为AB的中点,AE∥CD,∴AM=AD=2. 在△AME中,∠MAE=120°, 由余弦定理得EM2=AM2+AE2-2AM•AEcos120°=7, ∴, ∴, ∴. ∴二面角P-EC-D的大小为arctan
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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