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已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a. (I)求f(x)的单调递减区间; ...

已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.
(I)求f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.
(I)先求出函数f(x)的导函数f′(x),然后令f′(x)<0,解得的区间即为函数f(x)的单调递减区间; (II)先求出端点的函数值f(-2)与f(2),比较f(2)与f(-2)的大小,然后根据函数f(x)在[-1,2]上单调递增,在[-2,-1]上单调递减,得到f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,建立等式关系求出a,从而求出函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值. 【解析】 (I)f′(x)=-3x2+6x+9. 令f′(x)<0,解得x<-1或x>3, 所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞). (II)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a, 所以f(2)>f(-2). 因为在(-1,3)上f′(x)>0,所以f(x)在[-1,2]上单调递增, 又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减, 因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,于是有22+a=20,解得a=-2. 故f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此f(-1)=1+3-9-2=-7, 即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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