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已知函数f(x)对任意实数x,y均有f(x)+f(y)=2f,f(0)≠0,且存...

已知函数f(x)对任意实数x,y均有f(x)+f(y)=2fmanfen5.com 满分网,f(0)≠0,且存在非零常数c,使f(c)=0.
(1)求f(0)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明;
(3)求证f(x)是周期函数,并求出f(x)的一个周期.
(1)令x=0,y=0,并代入有,即可求出f(0)的值; (2)令y=-x,代入求得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x),即可证得结果; (3)根据存在非零常数c,使f(c)=0及周期函数的定义得到f(2c+x)+f(x)==0,再验证f(4c+x)=f(x)即可证明结论. 【解析】 (1)∵任意x,y∈R均有f(x)+f(y)=,令x=y=0, ∴2f(0)=2f(0)•f(0), ∵f(0)≠0,∴f(0)=1. (2)令y=-x, 可得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x), 有f(-x)=f(x), 则f(x)为偶函数、 (3)∵f(2c+x)+f(x)=, ∵f(c)=0,∴f(2c+x)+f(x)=0, 即f(2c+x)=-f(x), ∴f(x)=-f(2c+x)=-[-f(2c+(2c+x))]=f(4c+x), ∴f(x)的周期为4c.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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