Question

设f（x）=（a≠0），令a₁=1，a_n+1=f（a_n），又b_n=a_n•a_n+1，n∈N^*
（1）判断数列{}是等差数列还是等比数列并证明；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{b_n}的前n项和．

Answer

（1）由题意可得：．将其变形可得，由等差数列的定义进而得到答案．
（2）由（1）可得，．
（3）设Sn是数列{bn}的前n项和．由（1）可得bn=an•an+1=a（an-an+1），利用分组求和的方法求出答案即可．
【解析】
（1）由an+1=f（an）可得：．
将其变形可得an•an+1=a（an-an+1），即，
所以数列{}是首项为1，公差为的等差数列．
（2）由（1）可得，
所以，即．
所以数列{an}的通项公式为．
（3）设Sn是数列{bn}的前n项和．
由（1）可得bn=an•an+1=a（an-an+1），
所以．
所以数列{bn}的前n项和为．