Question

已知函数f（x）=ln（1+x²）+ax．（a≤0）．
（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅲ）证明：．

Answer

（Ⅰ）求出f′（x），因为f（x）在x=0时取得极值，所以f'（0）=0，代入求出a即可；
（Ⅱ）分三种情况：a=0；a≤-1；-1＜a＜0，令f′（x）＞0得到函数的递增区间；令f′（x）＜0得到函数的递减区间即可；（Ⅲ）由（2）知当a=-1时函数为减函数，所以得到ln（1+x2）＜x，利用这个结论根据对数的运算法则化简不等式的左边得证即可．
【解析】
（Ⅰ），因为x=0是f（x）的一个极值点，∴f'（0）=0，∴a=0验证知a=0符合条件．------------2分
（Ⅱ）因为
1）若a=0时，∴f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；
2）若，∴f（x）在R上单调递减；
3）若-1＜a＜0时，由f'（x）＞0得ax2+2x+a＞0∴∴，
在；
综上所述，若a≤-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，
若-1＜a＜0时，，
若a=0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减．---------8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=-1时，f（x）在（-∞，+∞）单调递减
当x∈（0，+∞）时，由f（x）＜f（0）=0∴ln（1+x2）＜x
∴
∴---------------------13分