Question

如果有穷数列a₁，a₂，…，a_n（n∈N^*）满足条件：a₁=a_n，a₂=a_n-1，…，a_n=a₁，即a_i=a_n-i+1，（i=1，2，…，n）我们称其为“对称数列”．例如：数列1，2，3，3，2，1 和数列1，2，3，4，3，2，1都为“对称数列”．已知数列{b_n}是项数不超过2m（m＞1，m∈N^*）的“对称数列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次为该数列中连续的前m项，则数列{b_n}的前2009项和S₂₀₀₉所有可能为：①2²⁰⁰⁹-1  ②2（2²⁰⁰⁹-1）③3•2^m-1-2^2m-2010-1  ④2^m+1-2^2m-2009-1；其中正确的有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

由题意由于新定义了对称数列，且已知数列bn是项数为不超过2m（m＞1，m∈N*）的“对称数列”，并使得1，2，22，…，2m-1依次为该数列中前连续的m项，故数列bn的前2009项利用等比数列的前n项和定义直接可求①②的正确与否；对于③④，先从等比数列的求和公式求出任意2m项的和，再利用减法得到需要的前2009项的和，即可判断．
【解析】
【解析】
因为数列bn是项数为不超过2m（m＞1，m∈N*）的“对称数列”，并使得1，2，22，…，2m-1依次为该数列中前连续的m项，
所以分数列的项数是偶数和奇数讨论．
若数列含偶数项，则数列可设为1，21，22，…，2m-1，2m-1，…，22，21，1
当m-1≥2008时，S2009=
1×（1-22009）
1-2

=22009-1，所以①正确；
当1004≤m-1＜2008时，S2009=2
1×（1-2m）
1-2

-
1×（1-22m-2009）
1-2

=2m+1-22m-2009-1，所以④正确；
若数列含奇数项，则数列可设为可设为1，21，22，…，2m-2，2m-1，2m-2…，22，21，1
当m-1≥2008时，S2009=22009-1；
当1004≤m-1＜2008时，所以S2009=2
1×（1-2m-1）
1-2

+2m-1-
1×（1-22m-1-2009）
1-2

=3•2m-1-22m-2010-1，所以③正确．
故选C