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如图,设抛物线C1:y2=4mx(m>0)的准线与x轴交于F1,焦点为F2;以F1,F2为焦点,离心率e=manfen5.com 满分网的椭圆C2与抛物线C1在x轴上方的交点为P,延长PF2交抛物线于点Q,M是抛物线C1上一动点,且M在P与Q之间运动.
(1)当m=1时,求椭圆C2的方程;
(2)当△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数时,求△MPQ面积的最大值.

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(1)当m=1时,y2=4x,则F1(-1,0),F2(1,0).设椭圆方程为=1(a>b>0),由题设条件知c=1,a=2,b2=3,由此可知椭圆C2方程为=1. (2)因为c=m,e==,则a=2m,b2=3m2,设椭圆方程为,由,得3x2+16mx-12m2=0,得xP=代入抛物线方程得P(,),由此得m=3,由此可求出△MPQ面积的最大值. 【解析】 (1)当m=1时,y2=4x,则F1(-1,0),F2(1,0) 设椭圆方程为=1(a>b>0),则c=1,又e==,所以a=2,b2=3 所以椭圆C2方程为=1(4分) (2)因为c=m,e==,则a=2m,b2=3m2, 设椭圆方程为 由,得3x2+16mx-12m2=0(6分) 即(x+6m)(3x-2m)=0,得xP=代入抛物线方程得yP=m, 即P(,) |PF2|=xP+m=,|PF1|=2a-|PF2|=4m-=,|F1F2|=2m=, 因为△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数,所以m=3(8分) 此时抛物线方程为y2=12x,P(2,2),直线PQ方程为:y=-2(x-3). 联立,得2x2-13x+18=0,即(x-2)(2x-9)=0, 所以xQ=,代入抛物线方程得yQ=-3,即Q(,-3) ∴|PQ|==. 设M(,t)到直线PQ的距离为d,t∈(-3,2) 则d==|(t+)2-|(10分) 当t=-时,dmax=•=, 即△MPQ面积的最大值为××=.(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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