Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=2a_n-3n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）问数列{a_n}中是否存在某三项，它们可以构成一个等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由a1=S1=2a1-3可求a1，当n≥2时，由，两式相减可得an=2an-1+3，利用构造等比数列可求
（2）由（1）知an+3=6×2nan=3（2n-1），假设存在某三项，不妨设ax，ay，az成等差数列，其中x＜y＜z，x，y，z为正整数则ax+az=2ay，即2x+2z=2×2y，从而可判断x，y，z是否存在
【解析】
（1）当n=1时，a1=S1=2a1-3，所以a1=3
当n≥2时，由，两式相减可得an=2an-2an-1-3
即an=2an-1+3，所以an+3=2（an-1+3），又a1+3=6
所以数列{an+3}是以6为首项，2为公比的等比数列
（2）由（1）知an+3=6×2n
∴an=3•2n-3
假设存在某三项，不妨设ax，ay，az成等差数列，其中x＜y＜z，x，y，z为正正数
则ax+az=2ay
即3×（2x-1）+3×（2z-1）=2×3×（2y-1）
2x+2z=2×2y
等式两边同除以2y，得2x-y+2z-y=2…（11分）
因为x-y＜0，z-y≥1，所以0＜2x-y＜1，2z-y≥2…（13分）
所以2x-y+2z-y＞2，这与2x-y+2z-y=2矛盾、
假设不存在，故数列{an}中不存在某三项，使它们可以构成一个等差数列、…（14分）