Question

已知集合A={x∈R|ax²-3x-4=0}，
（1）若A中有两个元素，求实数a的取值范围；
（2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．

Answer

（1）由A中有两个元素，知关于x的方程ax2-3x-4=0有两个不等的实数根，由此能求出实数a的取值范围．
（2）当a=0时，方程为-3x-4=0，所以集合A=；当a≠0时，若关于x的方程ax2-3x-4=0有两个相等的实数根，则A也只有一个元素，此时；若关于x的方程ax2-3x-4=0没有实数根，则A没有元素，此时．由此能求出实数a的取值范围．
【解析】
（1）∵A中有两个元素，
∴关于x的方程ax2-3x-4=0有两个不等的实数根，
∴△=9+16a＞0，且a≠0，即所求的范围是，且a≠0}；（6分）
（2）当a=0时，方程为-3x-4=0，
∴集合A=；
当a≠0时，若关于x的方程ax2-3x-4=0有两个相等的实数根，则A也只有一个元素，此时；
若关于x的方程ax2-3x-4=0没有实数根，则A没有元素，此时，
综合知此时所求的范围是，或a=0}．（12分）