已知函数f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值...

已知函数f（x）=log₂（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）设函数 manfen5.com 满分网

，其中a＞0．若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，求a的取值范围．

（1）由已知中函数f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．由偶函数的定义，构造一个关于k的方程，解方程即可求出k的值；（2）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，即方程log2（4x+1）-x=在（，+∞）有且只有一解，即方程在上只有一解，利用换元法，将方程转化为整式方程后，分类讨论后，即可得到a的取值范围．【解析】（1）∵函数f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数 ∴f（-x）=log2（4-x+1）-kx=f（x）=log2（4x+1）+kx恒成立即log2（4x+1）-2x-kx=log2（4x+1）+kx恒成立解得k=-1 （2）∵a＞0 ∴函数的定义域为（，+∞）即满足函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点， ∴方程log2（4x+1）-x=在（，+∞）有且只有一解即：方程在上只有一解令2x=t，则，因而等价于关于t的方程（*）在上只有一解当a=1时，解得，不合题意；当0＜a＜1时，记，其图象的对称轴 ∴函数在（0，+∞）上递减，而h（0）=-1 ∴方程（*）在无解当a＞1时，记，其图象的对称轴所以，只需，即，此恒成立 ∴此时a的范围为a＞1 综上所述，所求a的取值范围为a＞1．

复制答案

考点分析：

相关试题推荐

已知函数

，其中a是大于0的常数
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）当a∈（1，4）时，求函数f（x）在[2，+∞）上的最小值；
（3）若对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，试确定a的取值范围．

查看答案

已知函数f（x）=x²+（2a-1）x-3
（1）当a=2，x∈[-2，3]时，求函数f（x）的值域；
（2）若函数f（x）在[-1，3]上的最大值为1，求实数a的值．

查看答案

已知命题p：函数y=log_a（1-2x）在定义域上单调递增；命题q：不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0对任意实数x恒成立
若p∨q是真命题，求实数a的取值范围．

查看答案

关于函数

，有下列命题
①其图象关于y轴对称；
②当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；
③f（x）的最小值是lg2；
④f（x）在区间（-1，0）、（2，+∞）上是增函数；
⑤f（x）无最大值，也无最小值
其中所有正确结论的序号是．查看答案

已知

，若函数f（x）在R上是减函数，则实数a的取值范围是．查看答案

试题属性

题型：解答题
难度：中等

已知函数f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数． （1）求k的值...

已知函数f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值...