Question

P是以F₁、F₂为焦点的双曲线C：（a＞0，b＞0）上的一点，已知=0，．
（1）试求双曲线的离心率e；
（2）过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P₁、P₂两点，当=-，=0，求双曲线的方程．

Answer

（1）由，，得出，．再利用向量垂直的条件得到：（4a）2+（2a）2=（2c）2从而求双曲线的离心率e．
（2）由（1）知，双曲线的方程可设为，设P1（x1，2x1），P2（x2，-2x2），P（x，y）．利用向量的数量积得到：结合向量条件得出x，y的表达式，最后根据点P在双曲线上列出方程求得a2=2．从而得到双曲线的方程．
解（1）∵，，∴，．
∵=0，∴（4a）2+（2a）2=（2c）2，∴．
（2）由（1）知，双曲线的方程可设为，渐近线方程为y=±2x．
设P1（x1，2x1），P2（x2，-2x2），P（x，y）．
∵，∴．∵，∴
∵点P在双曲线上，∴．
化简得，．∴．∴a2=2．∴双曲线的方程为