Question

设f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，且当x∈[2，3]时，g（x）=2a（x-2）-4（x-2）³．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在（0，1]上为增函数，求a的取值范围；
（3）是否存在正整数a，使f（x）的图象的最高点落在直线y=12上？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据题中g（x）的解析式以及题中已知条件便可求出函数f（x）的解析式；
（2）先求出函数f（x）的导数f'（x），在（0，1]区间内令f'（x）＞0即可求出a的取值范围；
（3）存在，令f'（x）＞0，即可求出a的取值范围，便可知0＜a≤6不符合题意，当a＞6时[f（x）]max=f（1）=2a-4-12，即可求出满足题意的a的值．
【解析】
（1）当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]，f（x）=g（2-x）=-2ax+4x3；
当x∈（0，1]时，f（x）=f（-x）=2ax-4x3，
∴
（2）由题设知，f'（x）＞0对x∈（0，1]恒成立，
即2a-12x2＞0对x∈（0，1]恒成立，
于是，a＞6x2，
从而a＞（6x2）max=6．
（3）因为f（x）为偶函数，故只需研究函数f（x）=2ax-4x3在x∈（0，1]的最大值．
令f'（x）=2a-12x2=0，
解得．
①若∈（0，1]，即0＜a≤6，
则，
故此时不存在符合题意的a；
②若＞1，即a＞6，
则f（x）在（0，1]上为增函数，
于是[f（x）]max=f（1）=2a-4．
令2a-4=12，故a=8．
综上，存在a=8满足题设．