Question

已知数列{a_n}是正数组成的数列，其前n项和为S_n，对于一切n∈N^*均有a_n与2的等差中项等于S_n与2的等比中项．
（1）计算a₁，a₂，a₃，并由此猜想{a_n}的通项公式a_n；（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想．

Answer

（1）由题意，令n=1，因为s1=a1，可求出a1的值，再反复代入，分别求出a2，a3，总结出规律写出通项公式an；
（2）根据（1）的猜想，利用归纳法进行证明，假设n=k成立，然后利用已知条件验证n=k+1是否成立，从而求证．
【解析】
（1）由得可求得a1=2，a2=6，a3=10，…（5分）
由此猜想{an}的通项公式an=4n-2（n∈N+）．…（7分）
（2）证明：①当n=1时，a1=2，等式成立；…（9分）
②假设当n=k时，等式成立，即ak=4k-2，…（11分）
∴
∴（ak+1+ak）（ak+1-ak-4）=0，又ak+1+ak≠0
∴ak+1-ak-4=0，
∴ak+1=ak+4=4k-2+4=4（k+1）-2
∴当n=k+1时，等式也成立．…（13分）
由①②可得an=4n-2（n∈N+）成立．…（15分）