Question

已知函数．
（1）当时，判断并证明函数f（x）在[1，+∞）上的单调性；
（2）如果对任意x∈[1，+∞），有f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）当时，，从而有当x∈[1，+∞）时，f′（x）＞0，故可判断；
（2），则问题等价于x2+2x+a＞0，即（x+1）2+a-1＞0（y=（x+1）2+a-1是增函数，所以取1时，有最小值）所以min （x+1）2=4＞1-a（min （x+1）2是说（x+1）2的最小值），故可解．
【解析】
（1）当时，当x∈[1，+∞）时，f′（x）＞0，从而函数f（x）在[1，+∞）上的单调增；
（2），则x2+2x+a＞0，即（x+1）2+a-1＞0（y=（x+1）2+a-1是增函数，所以取1时，有最小值）所以4＞1-a，解得a＞-3．