Question

已知F₁、F₂是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，c为半焦距，相邻两顶点的距离为，椭圆C的离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l：x+ky+1=0与椭圆C相交于A，B两点（A、B不是椭圆的顶点），以AB为直径的圆过椭圆C与y轴的正半轴的交点，求k的值；
（Ⅲ）过F₂的直线交椭圆C于M、N，求△MF₁N面积的最大值．

Answer

（Ⅰ）直接由已知：a2+b2=3，，求出=，b=1；即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）联立直线方程与椭圆方程求出A、B两点的坐标之间的关系；再结合以AB为直径的圆过椭圆C与y轴的正半轴的交点P（0，1）的对应结论AP⊥BP即可求出k的值；（注意得到两个值时一定要检验）
（Ⅲ）设M，N两点的坐标分别为（e，f），（g，h）．先由=+=|F!F2|•|f-h|=c•|f-h|，转化为求|f-h|的最大值；再联立直线方程与椭圆方程结合韦达定理求出|f-h|的表达式，再利用基本不等式求出|f-h|的最大值即可求△MF1N面积的最大值．
【解析】
（Ⅰ）由已知可得  a2+b2=3，，
∴a=，b=1．
∴椭圆的方程为  =1．（3分）
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）
将直线x+ky+1=0代入椭圆方程=1中，整理得
（k2+2）y2+2ky-1=0
∵△=4k2+4（k2+2）=8k2+8＞0
∴，y1•y2=．
∴x1•x2=（-ky1-1）•（-ky2-1）=k2y1•y2+k（y1+y2）+1=
∵以AB为直径的圆过椭圆与y轴正半轴的交点P（0，1），
∴AP⊥BP
∴kAP•KBP=-1
∴=-1
∴y1y2-（y1+y2）+x1x2+1=0
∴+1=0．
整理得  k2-2k-3=0
∴k=-1，k=3
当k=-1时，直线x-y+1=0过椭圆的一个顶点（0，1），与已知矛盾，舍去．
∴k值为3．（8分）
（Ⅲ）设M，N、两点的坐标分别为（e，f），（g，h）．
直线MN与x轴夹角为α
由=+=|F!F2|•|f-h|=c•|f-h|
∴当|f-h|取得最大时，取得最大值．
设过F2的直线为y=k（x-1），（k存在）
代入椭圆方程中，整理得
（y2+y-1=0
∴f+h=，fh=．
∴|f-h|2=（f+h）2-4fh==
∴|f-h|2==
当k不存在时，也满足上式．
∴|f-h|=2=2•≤
当且仅当sinα=即sinα=1时，等号成立．
∴△MF1N的面积的最大值为．（14分）