Question

已知直线l：y=kx-1与圆C：（x-1）²+y²=1相交于P、Q两点，点M（0，b）满足MP⊥MQ．
（Ⅰ）当b=0时，求实数k的值；
（Ⅱ）当时，求实数k的取值范围．

Answer

（I）当b=0时，M点即为原点，根据圆C的方程：（x-1）2+y2=1，原点（M点）落在圆上，若MP⊥MQ，则PQ为圆C：（x-1）2+y2=1直径，将圆心坐标代入直线方程，即可求出实数k的值；
（Ⅱ）根据P、Q两点在直线l：y=kx-1上，设出P，Q两点的坐标为（X1，kX1-1），（X2，kX2-1），联立方程后可以将方程看作是关于x的一元二次方程，根据韦达定理，可将MP⊥MQ转化为一个k与b的关系式，根据时，即可得到实数k的取值范围．
【解析】
（I）当b=0时，点M（0，0）在圆C：（x-1）2+y2=1上
若足MP⊥MQ，则PQ为圆C：（x-1）2+y2=1直径
即直线l：y=kx-1过圆心（1，0）
代入解得k=1
（II）设P，Q两点的坐标为（X1，kX1-1），（X2，kX2-1）
则由圆C：（x-1）2+y2=1及直线l：y=kx-1
得（k2+1）x2-2（k+1）x+1=0
则X1•X2=，X1+X2=
则=（X1，kX1-1-b），=（X2，kX2-1-b）
由MP⊥MQ则
X1•X2+（kX1-1-b）•（kX2-1-b）=0
即
∵
∴∈[2，）
解得k≥1
故实数k的取值范围[1，+∞）