Question

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长为a，侧棱AA₁长为ka（k＞0），E为侧棱BB₁的中点，记以AD₁为棱，EAD₁，A₁AD₁为面的二面角大小为θ．
（1）是否存在k值，使直线AE⊥平面A₁D₁E，若存在，求出k值；若不存在，说明理由；
（2）试比较tanθ与的大小．

Answer

（1）这是一个探索性问题，对于此类问题的一般解法是先假设存在，再通过题中位置关系建立等式，看看方程有没有解，从而得出结论．设存在k值，满足题中的条件，根据面面垂直关系得方程，从而解出k=2，符合题意．
（2）取A1A中点M，连接EM．在Rt△AA1D1中利用比例线段，得出MH的长度，再在Rt△EMH中利用正切的定义建立tanθ与k的关系式，最后讨论k的取值，从而得出tanθ与的三种大小关系．
【解析】
（1）存在k=2，使得AE⊥平面A1D1E
证明：若AE⊥平面A1D1E，则AE⊥A1E，于是AE2+A1E2=AA12，
即，解得k=2，
∴存在k=2，使得AE⊥平面A1D1E．
（2）取A1A中点M，连接EM，在正四棱柱AC1中，EM⊥平面ADD1A1，过M作MH⊥AD1于H，连接EH，则∠MHE为二面角E-AD1-A1的平面角，即∠MHE=θ，
在Rt△AA1D1中，，即
在Rt△EMH中，，
当0＜k＜1时，；
当k=1时，；
当k＞1时，