Question

定义在R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx+3同时满足以下条件：①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；②f′（x）是偶函数；
③f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）设，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求实数m的取值范围．

Answer

（I）欲求解析式中的三个参数，则寻找三个参数的三个等式即可，根据f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，可得f′（1）=0，根据f′（x）是偶函数可求出b，最后根据f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直，建立关系式即可求出函数的解析式；
（II）将参数m分离出来，即存在x∈[1，e]，使m＞xlnx-x3+x，然后研究不等式右边的函数的最小值即可求出m的范围．
【解析】
（Ⅰ）f'（x）=3ax2+2bx+c
∵f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
∴f′（1）=3a+2b+c=0①
由f′（x）是偶函数得：b=0②
又f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直，f'（0）=c=-1③]
由①②③得：，即
（Ⅱ）由已知得：存在x∈[1，e]，使
即存在x∈[1，e]，使m＞xlnx-x3+x
设，则M'（x）=lnx-3x2+2设H（x）=M'（x）=lnx-3x2+2，则∵x∈[1，e]，∴H'（x）＜0，即H（x）在[1，e]递减
于是，H（x）≤H（1），即H（x）≤-1＜0，即M'（x）＜0∴M（x）在[1，e]上递减，∴M（x）≥M（e）=2e-e3
于是有m＞2e-e3为所求．