Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁，A₁A⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，A₁A=AB=6，D为AC中点．
（Ⅰ）求三棱锥C₁-BCD的体积；
（Ⅱ）求证：平面BC₁D⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅲ）求证：直线AB₁∥平面BC₁D．

Answer

（Ⅰ）先根据△ABC为正三角形，D为AC中点，得到BD⊥AC，求出△BCD的面积；再根据C1C⊥底面ABC即可求出三棱锥C1-BCD的体积；
（Ⅱ）先根据A1A⊥底面ABC，得到A1A⊥BD，再结合BD⊥AC即可得到BD⊥平面ACC1A1．即可证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；
（Ⅲ）连接B1C交BC1于O，连接OD，根据D为AC中点，O为B1C中点可得OD∥AB1，即可证：直线AB1∥平面BC1D．
（本小题满分12分）
【解析】
（Ⅰ）∵△ABC为正三角形，D为AC中点，
∴BD⊥AC，
由AB=6可知，，
∴．
又∵A1A⊥底面ABC，且A1A=AB=6，
∴C1C⊥底面ABC，且C1C=6，
∴．                           …（4分）
（Ⅱ）∵A1A⊥底面ABC，
∴A1A⊥BD．
又BD⊥AC，
∴BD⊥平面ACC1A1．
又BD⊂平面BC1D，
∴平面BC1D⊥平面ACC1A1．                                  …（8分）
（Ⅲ）连接B1C交BC1于O，连接OD，
在△B1AC中，D为AC中点，O为B1C中点，
所以OD∥AB1，
又OD⊂平面BC1D，
∴直线AB1∥平面BC1D．                                   …（12分）