Question

用数学归纳法证明4²ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺²能被13整除，其中n∈N^*．

Answer

用数学归纳法证明整除问题时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=1时，结论显然成立，第二步，先假设假设当n=k时结论成立，利用此假设结合因式的配凑法，证明当n=k+1时，结论也成立即可．
证明：（1）当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除
（2）假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，
42（k+1）+1+3k+3=42k+1•42+3k+2•3-42k+1•3+42k+1•3
=42k+1•13+3•（42k+1+3k+2）
∵42k+1•13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除
∴当n=k+1时也成立
由①②知，当n∈N*时，42n+1+3n+2能被13整除