Question

如图，在三棱台ABC-A₁B₁C₁中，CA，CB，CC₁两两垂直且长度相等，B₁C₁=BC，D为BB₁中点，E为AB上一点，且BE=BA，
（Ⅰ）求证：DE∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）设二面角B₁-AB-C的大小为θ，求tgθ；
（Ⅲ）若AC=2，求点C到平面ABB₁的距离．

Answer

（Ⅰ）过D作DF⊥BC于点F（或取BC的四等分点）先证明平面EFD∥平面ACC1A1，从而得ED∥平面ACC1A1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）过F作FG⊥BA于G，连GD证明∠FGD=θ，在Rt△DFG中解得tgθ=2．
（Ⅲ）由VC-ABB1=VA-CBB1  解得C到平面ABB1的距离为．
【解析】
（Ⅰ）过D作DF⊥BC于点F（或取BC的四等分点），所以FD∥C1C，
所以C1C∥平面ACC1A1．
又因为E为AB上一点，且BE=BA，
所以EF∥AC，
所以EF平面ACC1A1．
所以平面EFD∥平面ACC1A1，
又因为ED⊂平面EFD，
所以ED∥平面ACC1A1（4分）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）过F作FG⊥BA于G，连GD，
由题意可得：FD⊥平面ABC，
所以AB⊥平面FDG，
所以GD⊥AB，
所以可得∠FGD=θ，
因为E为AB上一点，且BE=BA，
所以点F为线段BC的四等分点，
所以．
因为D为BB1中点，所以DF=C1C=．
所以在Rt△DFG中，解得tgθ==2（4分）
（Ⅲ）由题意可得：VA--CBB1=．
因为AC=2，所以AB=2，B1B=，AB1=3，
所以由正弦定理与余弦定理可得：S△AB1B=3．
由VC-ABB1=VA--CBB1可得：C到平面ABB1的距离为．（4分）