Question

已知a₁=1，b₁=4，数列{a_n}的前n项和S_n满足nS_n+1-（n+3）S_n=0，2a_n+1为b_n与b_n+1的等比中项，
（1）求a₂，b₂；
（2）求a_n及b_n．

Answer

（1）题设有a1+a2-4a1=0，a1=1，4a22=b2b1，b1=4，由此可求出a2，b2的值；
（2）由nSn+1-（n+3）Sn=0得nan+1=3Sn ①，再写一式（n-1）an=3Sn-1（n≥2）②①-②得nan+1=（n+2）an，再用叠乘法求得，利用2an+1为bn与bn+1的等比中项，可求得bn=（n+1）2
【解析】
（1）由题设有a1+a2-4a1=0，a1=1解得a2=3，由题设又有4a22=b2b1，b1=4解得b2=9
（2）nSn+1-（n+3）Sn=0，
即nan+1=3Sn ①
∴（n-1）an=3Sn-1（n≥2）②
①-②得nan+1=（n+2）an，
∴
∴ a1=1 也适合上式
∴
由bnbn+1=4a2n+1=（n+2）（n+1）2 得 ，令，
即xnxn+1=1，∵x1=1，∴xn=1
∴bn=（n+1）2