Question

设定义在R上的函数f（x）=ax⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x+a₄（a，a₁，a₂，a₃，a₄∈R），当x=-1时f（x）取得极大值，且函数y=f（x+1）的图象关于点（-1，0）对称．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）试在函数y=f（x）的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[-，]上．

Answer

（1）由函数y=f（x+1）与函数y=f（x）的图象关系知函数y=f（x）是奇函数，可得f（x）=a1x3+a3x，再由当x=-1时f（x）取得极大值，可有求得a1，a3即可．
（2）先设所求两点为（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），由“这两点为切点的切线互相垂直”转化为两点处的导数乘积等于
-1，再结合求解．
【解析】
（1）将函数y=f（x+1）的图象向右平移一个单位，得到函数y=f（x）的图象，
∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数y=f（x）是奇函数，
∴f（x）=a1x3+a3x
∴f′（x）=3a1x2+a3
由题意得：
所以，经检验满足题意
（2）由（1）可得f′（x）=x2-1
故设所求两点为
f′（x1）•f′（x2）=（x12-1）（x22-1）=-1
∵x12-1，x22-1∈[-1，1]
∴
或
∴满足条件的两点的坐标为：
（0，0），或