Question

已知直线l：（a-2）y=（3a-1）x-1①求证：无论a为何值时，直线总过第一象限；②为使这条直线不过第二象限，求a的取值范围；③若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B．△AOB的面积为S且-2≤a≤-1，求S的最小值并求此时直线l的方程．

Answer

①由于（3x-y）+（-x+2y-1）=0对任意实数a恒过直线3x-y=0与x-2y+1=0的交点即可得出结论；
②先对a进行分类讨论：当a=2时，直线为，不过第二象限；当a≠2时，a≥2时直线不过第二象限．从而得到结果；
③令x=0和令y=0得到直线在坐标轴上截距，再利用三角形面积公式得到S关于a的函数表达式，最后利用函数的单调性求得其最小值并求此时直线l的方程．
【解析】
①∵（3x-y）+（-x+2y-1）=0对任意实数a恒过直线3x-y=0与x-2y+1=0的交点．
∴直线系恒过第一象限内的定点．
②当a=2时，直线为，不过第二象限；当a≠2时，直线方程化为
不过第二象限的充要条件为
∴a≥2时直线不过第二象限．
③令x=0得
令y=0得∴
∵S在a∈[-2，-1]↗∴当a=-2时
此时l：7x-4y+1=0