Question

设无穷等差数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）若数列首项为，公差d=1，求满足S_k²=（S_k）²的正整数k的值；
（2）若S_n=n²，求通项a_n；
（3）求所有无穷等差数列{a_n}，使得对于一切正整数k都有S_k²=（S_k）²成立．

Answer

（1）利用等差数列的求和公式表示出前n项的和，代入到 求得k．
（2）利用n≥2时an=sn-sn-1求通项公式，但注意n=1时，也符合上式，即可求出通项公式．
（3）设数列{an}的公差为d，在 中分别取k=1，2求得a1，代入到前n项的和中分别求得d，进而对a1和d进行验证，最后综合求得答案．
【解析】
（1）当 时，
∴
整理得
∴k=0或k=4
又∵k≠0，
∴k=4．
（2）当n=1时，s1=a1=1
当n≥2时，an=sn-sn-1=2n-1
a1也符合上式
∴an=2n-1
（3）设数列{an}的公差为d，则在 中分别取k=1，2，由（1）得a1=0或a1=1．
当a1=0时，代入（2）得d=0或d=6，
若a1=0，d=0，则an=0，Sn=0，从而Sk=（Sk）2成立
若a1=0，d=6，则an=6（n-1），由S3=18，（S3）2=324，Sn=216知s9≠（S3）2，故所得数列不符合题意．
当a1=1时，代入（2）得4+6d=（2+d）2，解得d=0或d=2
若a1=1，d=0，则an=1，Sn=n，从而 成立；
若a1=1，d=2，则an=2n-1，Sn=1+3+…+（2n-1）=n2，从而S=（Sn）2成立
综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：
∴an=0，an=1，an=2n-1．