Question

已知f（x）=ax³+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时f（x）取得极值-2．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在（-4，5）上的单调区间．

Answer

（I）根据奇函数的定义可求出d的值，然后根据f（1）=-2，f'（1）=0求出a与c的值，即可求出函数f（x）的解析式；
（II）先求导函数，然后在区间（-4，5）上解f'（x）＞0与f'（x）＜0的解集，即可求出函数的单调区间．
【解析】
（Ⅰ）由奇函数的定义，应有f（-x）=-f（x），x∈R
即-ax3-cx+d=-ax3-cx-d∴d=0
因此，f（x）=ax3+cx  f'（x）=3ax2+c
由条件f（1）=-2为f（x）的极值，必有f'（1）=0，故
解得a=1，c=-3因此，f（x）=x3-3x，
（II）f'（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）
当x∈（-4，-1）时，f'（x）＞0，故f（x）在单调区间（-4，-1）上是增函数
当x∈（-1，1）时，f'（x）＜0，故f（x）在单调区间（-1，1）上是减函数
当x∈（1，5）时，f'（x）＞0，故f（x）在单调区间（1，5）上是增函数