Question

已知函数f（x）对于任意m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，并且当x＞0时f（x）＞1．
（1）求证：函数f（x）在R上为增函数；
（2）若f（3）=4，解不等式f（a²+a-5）＜2．

Answer

（1）证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2-x1＞0，则f（x2-x1）＞1，函数f（x）对于任意m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）-1成立，令m=n=0，有f（0）=1，
再令m=x，n=-x，结合条件得到f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），即可求得结果；
（2）f（a2+a-5）＜2，即为f（a2+a-5）＜f（1），由（1）知，函数f（x）在R上为增函数，a2+a-5＜1，解此不等式即得．
【解析】
（1）证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2-x1＞0，则f（x2-x1）＞1
∵函数f（x）对于任意m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）-1成立
∴令m=n=0，有f（0+0）=f（0）+f（0）-1，即f（0）=1，
再令m=x，n=-x，则有f（x-x）=f（x）+f（-x）-1，即f（0）=f（x）+f（-x）-1，
∴f（-x）=2-f（x），
∴f（-x1）=2-f（x1）
而f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1）-1=f（x2）+2-f（x1）-1＞1，
即f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
∴函数f（x）在R上为增函数；
（2）∵f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）-1=f（1）+f（1）+f（1）-2=3f（1）-2=4
∴f（1）=2．
∴f（a2+a-5）＜2，即为f（a2+a-5）＜f（1），
由（1）知，函数f（x）在R上为增函数，a2+a-5＜1，即a2+a-6＜0，
∴-3＜a＜2
∴不等式f（a2+a-5）＜2的解集是{a|-3＜a＜2}