Question

已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R，满足f=af（b）+bf（a）．又已知，考查下列结论：①f（0）=0；②f（-1）=-1；③a₂是a₁，a₃的等比中项；④b₂是b₁，b₃的等差中项．其中正确的是    ．（填上所有正确命题的序号）

Answer

令a=b=0，得f（0）=f（0•0）=0，可知①正确；
令a=b=1，得f（1）=f（1•1）=2f（1），f（1）=0；又令a=b=-1，得f（1）=-f（-1）-f（-1）=2f（-1），
得f（-1）=0，可知②不正确；
由f（2）=2，则f（2n）=f（2•2n-1）=2f（2n-1）+2n-1f（2）=2f（2n-1）+2n，得bn=bn-1+1，{bn}是等差数列，故④正确；
又b1=1，bn=1+（n-1）×1=n，f（2n）=2nbn=n•2n，则an=2n，数列{an}是等比数列，故③正确．
【解析】
∵f（0）=f（0•0）=0•f（0）+0•f（0）=0，∴①正确；
又f（1）=f（1•1）=2f（1），∴f（1）=0；f（1）=f[（-1）•（-1）]=-2f（-1），∴f（-1）=0，故②错；
又∵f（2）=2，∴f（2n）=f（2•2n-1）=2f（2n-1）+2n-1f（2）=2f（2n-1）+2n，∴bn===+1
即bn=bn-1+1，∴{bn}是等差数列，故④正确；
又b1==1，∴bn=1+（n-1）×1=n，∴f（2n）=2nbn=n•2n，∴an=2n，∴数列{an}是等比数列，故③正确．
故答案为：①③④