Question

已知f（x）=（x-1）²，数列{a_n}是首项为a₁，公差为d的等差数列；{b_n}是首项为b₁，公比为q（q∈R且q≠1）的等比数列，且满足a₁=f（d-1），a₃=f（d+1），b₁=f（q+1），b₃=f（q-1）．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若存在c_n=a_n•b_n（n∈N^*），试求数列{c_n}的前n项和；
（Ⅲ）是否存在数列{d_n}，使得对一切大于1的正整数n都成立，若存在，求出{d_n}；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）利用等差数列及等比数列的通项公式可求公差d及公比q，代入到等差数列及等比数列的通项公式可求
（II）由（I）可求Cn，结合数列Cn的特点，考虑利用错位相减法求和即可
（III）假设存在满足条件的数列{dn}，则有d1=a2=2，且有代入整理可得，利用等差数列的通项可求
【解析】
（Ⅰ）由题意可得，a3-a1=d2-（d-2）2=2d
∴d=2
由等差数列的通项公式可得，an=2n-2（n∈N*）；
∵b3=（q-2）2=q2•q2
∴q2±q∓2=0∴q=-2
∴bn=（-2）n+1（n∈N*）．
（Ⅱ）由（I）可得，Cn=an•bn=2（n-1）•（-2）n+1
∴Sn=2×0×（-2）2+2×1×（-2）3+2（n-1）×（-2）n+1
-2Sn=2×0×（-2）3+2×1×（-2）4+…+（2（n-1）•（-2）n+2
错位相减法，可得
（Ⅲ）假设存在满足条件的数列{dn}，则有d1=a2=2，且有
dn=（-2）n-1-2dn-1，两边同除以（-2）n-1可得
令，则有
故{An}是首项为-1，公差为的等差数列，则，
故dn=（n+1）（-2）n-1．