Question

设一个正三棱锥的侧面与底面所成的角为α，相邻两个侧面所成的角为β，那么两个角α和β的三角函数间的关系是（ ）
A．2cos²α+3cosβ=1
B．2cosα+3cos²β=1
C．3cos²α+2cosβ=1
D．3cosα+2cos²β=1

Answer

由题设条件及四个选项可以得出需要先做出两个二面角，再由题设中的等量关系建立方程研究两个二面角的关系，由图形及题设条件知在如图图形中作SD⊥BC，连接AD，作SH⊥AD，则SH⊥底面ABC，可得BE⊥SA，连接CE，则CE⊥SA，∠BEC是二侧面成角的平面角，观察三角形BEC，可将此三角形的边用要研究的角α，β表示出来，在此三角形中利用余弦定理得到方程，整理出选项．
【解析】
设正三棱锥S-ABC，侧面与底面所成的角为α，相邻两个侧面所成的角为β，作SD⊥BC，连接AD，作SH⊥AD，则SH⊥底面ABC，可得BE⊥SA，连接CE，则CE⊥SA，∠BEC是二侧面成角的平面角，
设AB=BC=AC=1个单位，
AD=，HD==，AH=，
=cosα，SD=，SH=，
SA===，
又BE×SA×=SD×AB×=S△SAB，
∴BE===
在三角形EBC中根据余弦定理，
BC2=BE2+EC2-2×BE×EC×cosβ，
1=+-2××cosβ，
经整理得：3cos2α+2cosβ=1，
故选C