Question

如图，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为a的正方体，E、F分别是棱AA₁和CC₁的中点，G是A₁C₁的中点，求：
（1）点G到平面BFD₁E的距离；
（2）四棱锥A₁-BFD₁E的体积．

Answer

（1）先根据条件得到四边形BFD1E是棱形，设H是EF中点，再结合条件得到EF⊥面GHD1，⇒平面BFD1E⊥平面GHD1，然后作GK⊥HD1，在RT△GHD1中求出GK的长即可得到结论；
（2）先根据A1C1∥EF⇒A1C1∥平面BFD1E，进而得到G到平面BFD1E的距离就是四棱锥A1-BFD1E的高，再代入体积计算公式即可得到答案．
【解析】
（1）由题得：，
∴四边形BFD1E是棱形，连接EF和BD1，
有A1C1∥EF，设H是EF中点，
连GH、GD1，则EF⊥GH，EF⊥HD1，
∴EF⊥面GHD1，又EF⊂面BFD1E中，
∴平面BFD1E⊥平面GHD1，
作GK⊥HD1，则GK⊥面BFD1E，
则G到平面的距离就是KG长．在RT△GHD1中，GH•GD1=GK•HD1．
又，，，
∴．
（2）∵A1C1∥EF，∴A1C1∥平面BFD1E，
∴G到平面BFD1E的距离就是四棱锥A1-BFD1E的高，
∴