Question

如图，已知直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，D为AB的中点，A₁D⊥AB₁，且AC=BC，
（1）求证：A₁C⊥AB₁；
（2）若CC₁到平面A₁ABB₁的距离为1，，，求三棱锥A₁-ACD的体积；
（3）在（2）的条件下，求点B到平面A₁CD的距离．

Answer

（1）在△CAB中，先证明A1D是A1C在平面ABB1A上的射影，根据AB1⊥A1D，由三垂线定理可得 A1C⊥AB1 ．
（2）先求出求得，AD=2，由 运算求得结果．
（3）由题意得点B到平面A1CD的距离为点A到平面A1CD的距离，过A作AH⊥A1D于H，可得AH⊥面ADC，AH即为所求，
根据 运算求得结果．
【解析】
（1）证明：在△CAB中，因为AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB．
又∵面ABB1A1⊥面ABC，且面ABB1A∩面ABC=AB，∴CD⊥平面ABB1A1，∴A1D是A1C在平面ABB1A上的射影．
∵AB1⊥A1D，由三垂线定理可得 A1C⊥AB．
（2）由（1）知CD=1，在Rt△AA1D及Rt△AA1B中，由，，可求得，AD=2．
∴．
（3）∵AB与平面A1DC相交于点D，且D为AB的中点，∴点B到平面A1CD的距离为点A到平面A1CD的距离，
过A作AH⊥A1D于H，∵面ADA1⊥面A1DC，∴AH⊥面ADC，∴AH即为所求．
在Rt△AA1D中，，AD=2，，∴，
∴点B到平面A1CD的距离为．