Question

在数列{a_n}中，a₁=-6×2¹⁰，点（n，2a₊₁-a_n）在直线y=2¹¹x上，设b_n=a_n+1-a_n+t，数列{b_n}是等比数列．
（1）求出实数t；（2）令c_n=|log₂b_n|，问从第几项开始，数列{c_n}中连续20项之和为100？

Answer

（1）根据点在正弦上得到数列{an}的项的递推关系，将此代入，由于数列{bn}是等比数列，得到此商一个为常数，令211+2t=t，求出t的值．
（2）利用等比数列的通项公式求出bn，将t的值代入bn然后将bn代入cn，通过对k的讨论，将绝对值符号去掉，利用等差数列的前n项和求出连续20项之和列出方程求出开始的项．
【解析】
（1）由题设知2an+1=an+211n，从而
当n＞1时，，
若{bn}是等比数列，则211+2t=t，
故t=-211．
（2）∵{bn}是以为公比的等比数列，首项为a2-a1+t，
∴
∵，a2-a1-211=211
∴
∴cn=|n-12|，
假设{cn}从第k项起连续20项之和为100，
当k≥12时，ck+ck+1+…+ck+19≥c12+c13+…+c31=190≥100不合题意，
当k＜12时，ck+ck+1+…+ck+19=12-k+11-k+…+1+0+1+…+k+7=k2-5k+106=100
解得k=2或3，
所以数列{cn}从第二项或长三项起连续20项之和为100．