Question

已知点A（1，1）是椭圆（a＞b＞0）上一点，F₁，F₂是椭圆的两焦点，且满足|AF₁|+|AF₂|=4．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）求过A（1，1）与椭圆相切的直线方程；
（III）设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．

Answer

（I）根据椭圆的定义可知|AF1|+|AF2|=4=2a，然后将点A（1，1）代入椭圆方程即可求出a，b的值，从而确定椭圆的标准方程；（II）过点（x，y）与椭圆相切的切线方程为，故可求；（III）先假设出直线AC的方程，然后联立直线与椭圆消去y得到关于x的一元二次方程，进而表示出点C的横坐标，再由AC、AD直线倾斜角互补可得到直线AD的方程，进而可得到D的横坐标，然后将点C、D的横坐标分表代入直线方程可得到其对应的纵坐标，即可得到答案．
【解析】
（I）由椭圆定义知：2a=4，∴a=2，∴
把（1，1）代入得，∴，∴椭圆方程为
（II）【解析】
过A（1，1）点与椭圆相切的切线方程为：
即：x+3y-4=0                           
（III）设AC方程为：y=k（x-1）+1与椭圆方程联立，消去y得（1+3k2）x2-6k（k-1）x+3k2-6k-1=0
∵点A（1，1）在椭圆上，方程有一个根为xA=1，∴                          
∵直线AC、AD倾斜角互补，∴AD的方程为y=-k（x-1）+1
同理，又
yC=k（xC-1）+1，yD=-k（xD-1）+1，
yC-yD=k（xC+xD）-2K
∴，即直线CD的斜率为定值