Question

已知实数a≠0，函数f（x）=ax（x-2）²（x∈R）．
（1）若函数f（x）有极大值32，求实数a的值；
（2）若对∀x∈[-2，1]，不等式恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）求出f（x）的导函数，令导函数等于0求出此时x的值，因为函数有极大值32，把求得的x值代入函数解析式f（x）中求出函数值，让函数值等于32列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（2）根据（1）求出的导函数等于0时x的值，分a大于0和a小于0，在闭区间[-2，1]上，分区间判断导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性分别得到函数f（x）的最大值，让f（x）的最大值小于分别列出关于a的不等式，分别求出不等式的解集即可得到实数a的取值范围，求出的a的范围的并集即可得到所有满足题意的a的范围．
【解析】
（1）∵f（x）=ax（x-2）2=ax3-4ax2+4ax，
∴．
令f′（x）=0，解得，
∴或x=2．
∵f（x）=ax（x-2）2（x∈R）有极大值32，又f（2）=0．
∴f（x）在时取得极大值，
∴．
（2）由知：
当a＞0时，函数f（x）在上是增函数，在上是减函数．
此时，．
又对∀x∈[-2，1]，不等式恒成立．
∴得，
∴．
当a＜0时，函数f（x）在上是减函数，在上是增函数．
又f（-2）=-32a，f（1）=a，
此时，ymax=f（-2）=-32a．
又对∀x∈[-2，1]，不等式恒成立．
∴得，
∴．
故所求实数的取值范围是．