Question

已知F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，曲线C是以坐标原点为顶点，以F₂为焦点的抛物线，自点F₁引直线交曲线C于P、Q两个不同的点，点P关于x轴对称的点记为M，设．
（1）写出曲线C的方程；
（2）若，试用λ表示u；
（3）若λ∈[2，3]，求|PQ|的取值范围．

Answer

（1）由题意及抛物线的方程易得；
（2）由题意及所知的两向量等式应先设出点P，Q，M的坐标，利用已知的向量等式建立λ与μ的关系，进而求解；
（3）由于设出点P，Q的坐标利用两点间的距离公式，算出PQ的长度，应转化为用λ表示所求，接下来因为知道λ的范围进而可以求PQ长度的范围．
【解析】
（1）抛物线的方程是y2=4x，
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x1，-y1）
∵，
∴
∴y12=λ2y22，又y12=4x1，y22=4x2，
∴x1=λ2x2代入①得λ2x2+1=λx2+λ
∴λx2（λ-1）=λ-1，
∵λ≠1
∴
则=（x1-1，-y1）=（λ-1，-λy2）=-λ（-1，y2）
=-λ（x2-1，y2）=-λ
即，故u=-λ
（3）由③、④知x1x2=1，
∴y12y22=16x1x2=16，又y1y2＞0，
∴y1y2=4
∴|PQ|2
=（x1-x2）2+（y1-y2）2
=x12+x22+y12+y22-2（x1x2+y1y2）
=λ2++4（λ+）-10
=（λ+）2+4（λ+）-12
=（λ++2）2-16
又2≤λ≤3，
∴≤λ+≤
∴≤|PQ|2≤
所以≤|PQ|≤